Диагностика предназначена для 8-х классов с углубленным изучением математики (профильные классы, участники проектов «Математическая вертикаль», «Математическая вертикаль ПЛЮС» и т.д.). Если ваш класс изучает математику по стандартной программе, вам нужна статья для базового уровня (опубликована отдельно).

Официальное расписание: часть 1 и часть 2

👉 Скачать полные ответы и сами задания

В работе предусмотрен автоматический пятиминутный перерыв для разминки глаз.

Что проверяет часть 1 (углубленный уровень)

• Алгебраические преобразования повышенной сложности (рациональные выражения, степени, корни, многочлены).

• Уравнения и неравенства (линейные, квадратные, рациональные, системы).

• Функции и графики (анализ и построение графиков).

• Геометрические задачи (треугольники, четырёхугольники, окружность, теорема Пифагора, подобие).

• Текстовые задачи повышенной сложности (движение, проценты, смеси, работа).

• Задачи на логику и свойства чисел (делимость, чётность, остатки).

Примеры заданий из демоверсии (с ответами)

👉 Скачать полные ответы и сами задания

Задание 1 (рациональные выражения)

Упростите выражение: (a² – 9)/(a² – 6a + 9) : (a + 3)/(a – 3)

Решение:

1. a² – 9 = (a – 3)(a + 3)

2. a² – 6a + 9 = (a – 3)²

3. Делим: [(a – 3)(a + 3)] / [(a – 3)²] × (a – 3)/(a + 3) = 1

Ответ: 1

---

Задание 2 (квадратное уравнение с параметром)

Найдите все значения параметра a, при которых уравнение x² – 2ax + a² – 1 = 0 имеет два различных положительных корня.

Решение:

1. D/4 = a² – (a² – 1) = 1 > 0 → два различных корня при любом a.

2. Корни: x = a ± 1.

3. Положительность: a – 1 > 0 → a > 1 и a + 1 > 0 → a > –1. Объединяем: a > 1.

Ответ: a > 1 (или (1; +∞))

---

Задание 3 (график функции)

Постройте график функции y = |x – 2| – 1 и найдите все значения k, при которых прямая y = kx имеет с графиком ровно две общие точки.

Решение: (анализ графика – галочка с вершиной в (2; –1)). Прямая проходит через начало координат. Две общие точки при k > 0 и k < –1? Точный ответ из демоверсии.

Ответ: k ∈ (–∞; –1) ∪ (0; +∞) (уточнить по графику)

---

Задание 4 (задача на движение)

👉 Скачать полные ответы и сами задания

Из пункта А в пункт В вышел пешеход. Через 2 часа из А в В выехал велосипедист, а ещё через 30 минут — мотоциклист. Пешеход, велосипедист и мотоциклист двигались равномерно и прибыли в В одновременно. Найдите скорость мотоциклиста, если скорость пешехода 5 км/ч, а велосипедиста 15 км/ч.

Решение:
Пусть расстояние S. Время пешехода: S/5.
Время велосипедиста: S/15, но он выехал на 2 часа позже, поэтому S/15 = S/5 – 2 → решаем: S/5 – S/15 = 2 → (3S – S)/15 = 2 → 2S/15 = 2 → S = 15 км.
Время пешехода: 15/5 = 3 часа.
Мотоциклист выехал на 2,5 часа позже пешехода, значит, был в пути 0,5 часа. Скорость: 15 / 0,5 = 30 км/ч.

Ответ: 30 км/ч

---

Задание 5 (геометрия, подобие)

В треугольнике ABC на стороне AB отмечена точка K, на стороне AC — точка L так, что KL || BC. Найдите отношение площадей треугольников AKL и ABC, если AK : KB = 2 : 3.

Решение:
AK : AB = 2 : (2+3) = 2 : 5.
Коэффициент подобия треугольников AKL и ABC равен 2/5.
Отношение площадей = (2/5)² = 4/25.

Ответ: 4/25

---

Задание 6 (числа и делимость)

Найдите наименьшее натуральное число, которое при делении на 3 даёт остаток 1, при делении на 4 даёт остаток 2, а при делении на 5 даёт остаток 3.

Решение:
Заметим, что x + 2 делится на 3, 4 и 5 (т.к. x ≡ 1 (mod 3) → x+2 ≡ 0; x ≡ 2 (mod 4) → x+2 ≡ 0; x ≡ 3 (mod 5) → x+2 ≡ 0).
НОК(3,4,5) = 60.
x + 2 = 60 → x = 58.

Ответ: 58

---

Задание 7 (геометрия, окружность)

👉 Скачать полные ответы и сами задания

В окружности с центром O хорда AB равна радиусу. Найдите угол AOB.

Решение:
Треугольник AOB равносторонний (AB = OA = OB = R). Угол AOB = 60°.

Ответ: 60°

---

Задание 8 (задача на смеси)

Смешали 2 кг 10%‑го раствора кислоты и 3 кг 20%‑го раствора той же кислоты. Найдите концентрацию полученного раствора.

Решение:
Масса кислоты: 2×0,1 + 3×0,2 = 0,2 + 0,6 = 0,8 кг.
Общая масса: 5 кг.
Концентрация: 0,8 / 5 = 0,16 = 16%.

Ответ: 16%

Когда появятся официальные задания и ответы?

Как подготовиться к углубленной работе

👉 Скачать полные ответы и сами задания

1. Решите демоверсию. Это даст точное представление о сложности.

2. Повторите темы повышенного уровня:

   • Преобразование рациональных и алгебраических выражений.

   • Уравнения и неравенства с параметром.

   • Задачи на движение, работу, смеси с дробными значениями.

   • Геометрические задачи на подобие, окружность, теорему Пифагора.

   • Логические задачи на делимость и остатки.

3. Тренируйтесь с таймером 45 минут.

4. Разбирайте нестандартные подходы. Углубленный уровень требует гибкости мышления.

Удачи на МЦКО по математике за 8 класс (профиль)!