Диагностика предназначена для 10-х классов с углубленным изучением математики (профильные классы, «Математическая вертикаль» и др.). Если ваш класс изучает математику по стандартной программе, вам нужна статья для базового уровня (опубликована отдельно).

Официальное расписание: часть 1 и часть 2

👉 Скачать полные ответы и сами задания

В работе предусмотрен автоматический пятиминутный перерыв для разминки глаз.

Что проверяет часть 1 (углубленный уровень)

• Алгебраические преобразования повышенной сложности (рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические выражения).

• Уравнения и неравенства (тригонометрические, показательные, логарифмические, с параметром).

• Функции (область определения, множества значений, монотонность, экстремумы, производная сложной функции).

• Геометрия (планиметрия и стереометрия: углы, расстояния, сечения, площади, объёмы).

• Текстовые задачи (на движение, работу, проценты, смеси, оптимизацию).

• Задачи с параметрами и на логику.

Примеры заданий из демоверсии (с ответами)

👉 Скачать полные ответы и сами задания

Задание 1 (преобразование выражений)

Упростите выражение:
(√(a) – √(b))² + (√(a) + √(b))² – 2a – 2b
при a > 0, b > 0.

Решение:
(√a – √b)² = a – 2√(ab) + b
(√a + √b)² = a + 2√(ab) + b
Сумма = 2a + 2b
Вычитаем 2a + 2b → 0

Ответ: 0

---

Задание 2 (показательное неравенство)

Решите неравенство: 3ˣ⁺¹ < 27

Решение:
27 = 3³
x + 1 < 3
x < 2

Ответ: x < 2 (или (–∞; 2))

---

Задание 3 (логарифмическое уравнение)

Решите уравнение: log₂(x² – 5x + 6) = 1

Решение:
ОДЗ: x² – 5x + 6 > 0 → (x – 2)(x – 3) > 0 → x < 2 или x > 3.
x² – 5x + 6 = 2¹ = 2
x² – 5x + 4 = 0
D = 25 – 16 = 9
x = (5 ± 3)/2 → x₁ = 4, x₂ = 1.
x = 1 не подходит по ОДЗ (1 < 2, но 1 не входит в интервал x < 2? ОДЗ: x < 2, 1 подходит, 4 подходит. Проверим: при x=1, x²–5x+6=2>0, да. Оба корня подходят.

Ответ: 1 и 4

---

Задание 4 (производная сложной функции)

👉 Скачать полные ответы и сами задания

Найдите производную функции: f(x) = sin²(3x)

Решение:
f'(x) = 2 sin(3x) × cos(3x) × 3 = 6 sin(3x) cos(3x) = 3 sin(6x)

Ответ: 3 sin(6x)

---

Задание 5 (тригонометрическое уравнение)

Решите уравнение: 2 sin² x – sin x – 1 = 0
Найдите корни, принадлежащие отрезку [π; 2π].

Решение:
Замена t = sin x, 2t² – t – 1 = 0 → D = 1 + 8 = 9 → t = (1 ± 3)/4 → t₁ = 1, t₂ = –0,5.
sin x = 1 → x = π/2 + 2πk (не входит в [π; 2π]).
sin x = –0,5 → x = –π/6 + 2πk или x = 7π/6 + 2πk.
На отрезке [π; 2π]: x = 7π/6, 11π/6.

Ответ: 7π/6, 11π/6

---

Задание 6 (задача с параметром)

При каких значениях параметра a уравнение x² – 2ax + a² – a = 0 имеет два различных положительных корня?

Решение:
D/4 = a² – (a² – a) = a.
Для двух различных корней: a > 0.
Сумма корней = 2a > 0 → a > 0.
Произведение корней = a² – a > 0 → a(a – 1) > 0 → a < 0 или a > 1.
Пересечение с a > 0 даёт a > 1.

Ответ: a > 1

---

Задание 7 (геометрия, планиметрия)

В треугольнике ABC угол A = 60°, угол B = 45°, сторона AC = 8√6. Найдите сторону BC.

Решение:
Угол C = 180° – 60° – 45° = 75°.
По теореме синусов: BC / sin 60° = AC / sin 45°
BC / (√3/2) = 8√6 / (√2/2)
BC = (8√6 × √3/2) / (√2/2) = 8√18 / √2 = 8×3√2 / √2 = 24.

Ответ: 24

---

Задание 8 (текстовая задача на оптимизацию)

👉 Скачать полные ответы и сами задания

Прямоугольный участок земли площадью 100 м² нужно огородить забором. Длина одной стороны участка равна a м. При каких a длина забора будет наименьшей?

Решение:
Вторая сторона = 100/a.
Длина забора P = 2(a + 100/a).
Минимум достигается при a = √100 = 10 м (по неравенству Коши).

Ответ: 10 м

---

Задание 9 (логарифмическое неравенство)

Решите неравенство: log₀,₅ (x – 2) ≥ –1

Решение:
ОДЗ: x – 2 > 0 → x > 2.
log₀,₅ (x – 2) ≥ –1 → x – 2 ≤ (0,5)⁻¹ = 2 (т.к. основание < 1, знак меняется).
x – 2 ≤ 2 → x ≤ 4.
С учётом ОДЗ: 2 < x ≤ 4.

Ответ: (2; 4]

---

Задание 10 (стереометрия)

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD все рёбра равны 2. Найдите расстояние от вершины A до плоскости SBC.

Решение: (координатный или векторный метод).
Ответ из демоверсии: 2√3/3

Ответ: 2√3/3

Когда появятся официальные задания и ответы?

👉 Скачать полные ответы и сами задания

Как подготовиться к углубленной работе (10 класс)

1. Решите демоверсию. Это даст точное представление о сложности.

2. Повторите темы повышенного уровня:

   • Преобразование иррациональных, показательных, логарифмических выражений.

   • Решение тригонометрических, показательных, логарифмических уравнений и неравенств.

   • Производная сложной функции, исследование функций.

   • Задачи с параметрами (корни, расположение корней).

   • Стереометрия (пирамиды, призмы, расстояния, углы).

3. Тренируйтесь с таймером 45 минут.

4. Разбирайте нестандартные подходы. Углубленный уровень требует гибкости мышления.

Удачи на МЦКО по математике за 10 класс (профиль)!